Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，底面四邊形ABCD的邊長均大于2，且∠DAB=45°，點P在底面ABCD內運動且在AB，AD上的射影分別為M，N，若|PA|=2，則三棱錐P-D₁MN體積的最大值為（　　）

• A．

  1

  3

  （

  2

  -1）
• B．

  1

  3

  （2-

  2

  ）
• C．

  1

  3

  （

  2

  +1）
• D．

  1

  3

  （2+

  2

  ）

Answer 1

分析：畫出四棱柱圖形，設∠NAP=θ，求出PN，PM，得△PMN的面積，然后求出三棱錐P-D₁MN的體積表達式，得最大值．

解答：解：由題意畫出四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁如圖：
在底面四邊形ABCD中，設∠NAP=θ，θ∈[0，45°]，則∠PAM=45°-θ，
所以PN=|PA|sinθ=2sinθ，PM=|PA|sin（45°-θ）=2sin（45°-θ），
所以S_△PMN=

1

2

PN•PMsin135°=

1

2

×2sinθ×2sin（45°-θ）×

2

2

=

2

sinθsin（45°-°θ），
∴三棱錐P-D₁MN的體積為，
V三棱錐P-D1MN═

1

3

Sh=

1

3

×S_△PMN×DD₁=

1

3

×

2

sinθsin（45°-θ）×2=

1

3

×2（sinθcosθ-sin²θ）=

1

3

×（sin2θ+cos2θ-1）=

2

3

×sin（2θ+45°）-

1

3

，
因為θ∈[0，45°]，所以當θ=22.5°時V三棱錐P-D1MN取得最大值為：

2

3

-

1

3

．
故選：A．

點評：本題考查了空間中的位置關系以及錐體體積的計算問題，是基礎題．