Question

已知橢圓的離心率為，且過點，為其右焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的直線與橢圓相交于、兩點（點在兩點之間），若與的面積相等，試求直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】

試題分析：（1）因為，所以，.  

設橢圓方程為，又點在橢圓上,所以，

解得，   

所以橢圓方程為.  

（2）易知直線的斜率存在,

設的方程為，  由消去整理，得

，   

由題意知，

解得. 

設，，則， ①，. ②.

因為與的面積相等，

所以，所以. ③ 由①③消去得. ④

將代入②得. ⑤

將④代入⑤，

整理化簡得，解得，經檢驗成立. 

所以直線的方程為.

考點：橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質；直線與橢圓的綜合應用。

點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓的綜合應用，為圓錐曲線的常規題，應當掌握。考查了學生綜合分析問題、解決問題的能力，知識的遷移能力以及運算能力。解題時要認真審題，仔細分析。