Question

（在給出的二個題中，任選一題作答．若多選做，則按所做的第一題給分）
（1）（坐標系與參數方程）在極坐標系中，曲線ρcos²θ=2sinθ的焦點的極坐標為

（

1

2

，

π

2

）

．
（2）（不等式選講）若不等式

x+a

≥x(a＞0)的解集為{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，則a的取值集合為

{2}

．

Answer 1

分析：（1）若點P在直角坐標系中的坐標為（x，y），在極坐標系中的坐標為（ρ，θ），則有關系式：

x=ρcosθ y=ρsinθ

．根據此公式將曲線轉化成x²=2y，得到曲線是開口向上的拋物線，以F（0，

1

2

）為焦點，再將點F化成極坐標即可；
（2）根據題意，不等式的解集應該是曲線y=

x+a

位于直線y=x上方的部分為符合題意的圖象，觀察其橫坐標，可得x=n是方程

x+a

=x的一個解，且|m-n|=m+a=2a，建立方程組，解之可得a的取值集合．

解答：解：（1）由ρcos²θ=2sinθ得ρ²cos²θ=2ρsinθ
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ
∴曲線的直角坐標方程為：x²=2y，是以F（0，

1

2

）為焦點，開口向上的拋物線，
再將F化成極坐標形式為：(

1

2

，

π

2

)
（2）根據不等式

x+a

≥x作出如右圖的示意圖，
曲線y=

x+a

位于直線y=x上方的部分為符合題意的圖象，觀察其橫坐標
可得區間[m，n]即[-a，n]，說明（n，0）在曲線y=

x+a

-x上
即：

n2-n=a m=-a n-m=2a

解之得：n=a=2
故答案為：（

1

2

，

π

2

），{2}

點評：本題第一小問考查了簡單曲線的極坐標方程，以及極坐標與直角坐標的互化，第二小問考查了不等式的解集求法和不等式的基本性質，都屬于中檔題．