Question

【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù) 是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）判斷f（x）在（﹣∞，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若f（k3x）+f（3x﹣9x+2）＞0對任意x≥1恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）在R上為奇函數(shù)；

∴ ；

∴ ；

解得a=2，b=1

（2）解： ；

x增大時(shí)，2x+1增大， 減小，f（x）減小；

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減

（3）解：∵f（x）為奇函數(shù)，∴由f（k3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得，f（k3x）＞f（9x﹣3x﹣2）；

又f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減；

∴k3x＜9x﹣3x﹣2，該不等式對于任意x≥1恒成立；

∴（3x）2﹣（k+1）3x﹣2＞0對任意x≥1恒成立；

設(shè)3x=t，則t2﹣（k+1）t﹣2＞0對于任意t≥3恒成立；

設(shè)g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，△=（k+1）2+8＞0；

∴k應(yīng)滿足： ；

解得 ；

∴k的取值范圍為

【解析】（1）根據(jù)f（x）為R上的奇函數(shù)便可得到 ，這樣便可求出a=2，b=1；（2）分離常數(shù)可以得到 ，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2x的單調(diào)性可以判斷出x增大時(shí)，f（x）減小，從而可判斷出f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減；（3）根據(jù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性便可由f（k3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得到（3x）2﹣（k+1）3x﹣2＞0對于任意的x≥1恒成立，可設(shè)3x=t，從而有t2﹣（k+1）t﹣2＞0對于任意的t≥3恒成立，可設(shè)g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，從而可以得到 ，這樣解該不等式組便可得出k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱才能正確解答此題．