Question

在直角坐標系中，已知橢圓x²+4y²=1，矩陣陣M=[

0 1 1 0

]，N=[

0 2 1 0

]，求在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積．

Answer 1

分析：先根據矩陣的乘法求出MN，然后設（x₀，y₀）為橢圓x²+4y²=1上任一點，它在MN的作用下所對應的點為（x，y），找出兩點的關系，將點（x₀，y₀）代入橢圓x²+4y²=1方程可求出變換后的曲線，最后可求出面積．

解答：解：MN=

0 1 1 0

 

0 2 1 0

=

1 0 0 2

，…（4分）
設（x₀，y₀）為橢圓x²+4y²=1上任一點，它在MN的作用下所對應的點為（x，y），
則

x   y

=

1 0 0 2

 

x0   y0

=

x0   2y0

，…（6分）
∴

x=x0 y=2y0

，即即

x0=x y0= y 2

，…（10分）
代入x₀²+4y₀²=1得x²+y²=1，…（12分）
∴在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積為π．…（14分）

點評：本題主要考查矩陣的乘法及矩陣變換的性質在圖形變化中的應用．考查知識點比較少有一定的計算量，屬于中檔題．