Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣ |+|x+m|（m＞0）
（1）證明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＞5，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由m＞0，有f（x）=|x﹣ |+|x+m|≥|﹣（x﹣ ）+x+m|= +m≥4，

當(dāng)且僅當(dāng) =m，即m=2時(shí)取“=”，所以f（x）≥4成立．

（2）

解：f（2）=|2﹣ |+|2+m|．

當(dāng) ＜2，即m＞2時(shí)，f（2）=m﹣ +4，由f（2）＞5，求得m＞ ．

當(dāng) ≥2，即0＜m≤2時(shí)，f（2）= +m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．

綜上，m的取值范圍是（0，1）∪（ ，+∞）

【解析】（1）由m＞0，由f（x）的解析式利用絕對(duì)值三角不等式證得結(jié)論．（2）分當(dāng) ＜2時(shí)和當(dāng) ≥2時(shí)兩種情況，分別根據(jù)f（2）＞5，求得m的范圍，再把所得m的范圍取并集，即得所求．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)，掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．