Question

關于x的不等式組

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整數解的集合為A．
（1）當k=3時，求集合A；
（2）若集合 A={-2}，求實數k的取值范圍；
（3）若集合A中有2013個元素，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當k=3時，由于第二個不等式沒有整數解，可得A=Φ．
（2）我們易給出x²-x-2＞0的解集為{x|x＜-1或x＞2}，而方程2x²+（2k+5）x+5k=0的兩根為-k和-

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．分類討論-k和-

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的關系，再根據由不等式組的整數解為x=2，不難求出實數k的取值范圍．
（3）當-k＜-

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時，應有A={-3，-4，…，-2015}，所以，-2016≤-k＜-2015，可得k的范圍．當-k＞-

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時，A={-2，3，…，2014}，所以，2014≤-k≤2015，可得k的范圍．再把以上所得的2個k的范圍取并集，即得所求．

解答：解：（1）當k=3時，由于第二個不等式的解為-3＜x＜-

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，故滿足條件的整數x不存在，故A=∅．
（2）由x²-x-2＞0可得x＜-1或x＞2．
∵不等式組

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整數解為x=2，
又∵方程2x²+（2k+5）x+5k=0的兩根為-k和-

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．
①若-k＜-

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，則不等式組的整數解集合就不可能為{-2}；
②若-

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＜-k，則應有-2＜-k≤3．∴-3≤k＜2．
綜上，所求k的取值范圍為[-3，2）．
（3）當-k＜-

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時，A={-3，-4，…，-2015}，所以-2016≤-k＜-2015，得2015＜k≤2016．
當-k＞-

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時，A={-2，3，…，2014}，所以2014≤-k≤2015，得-2015≤k＜-2014．
所以實數k的取值范圍為（2015，2016]，或[-2015，-2014）．

點評：解決參數問題的集合運算，首先要理清題目要求，看清集合間存在的相互關系，注意分類討論、數形結合思想的應用，還要注意空集作為一個特殊集合與非空集合間的關系，在解題中漏掉它極易導致錯解，屬于中檔題．