Question

【題目】已知四面體的棱長(zhǎng)滿足，，現(xiàn)將四面體放入一個(gè)主視圖為等邊三角形的圓錐中，使得四面體可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓錐側(cè)面積的最小值為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

若滿足題意，則四面體的外接球應(yīng)該內(nèi)切于圓錐即可.先求得四面體外接球的半徑，再根據(jù)該球內(nèi)切于圓錐，即可求得圓錐側(cè)面積的最小值.

若滿足題意，則四面體的外接球應(yīng)該內(nèi)切于圓錐即可.

為邏輯清晰，我們將問(wèn)題主要分為兩步.

第一步：求得四面體外接球半徑.

記外心為，過(guò)作平面的垂線，

記外接球球心為，連接.

則外接球半徑.下面求解.

在中，由余弦定理可得，

則由同角三角函數(shù)關(guān)系可得.

故外接圓半徑.

將的圖形單獨(dú)抽取出來(lái)，取中點(diǎn)為.如上面由圖所示：

容易知：.

在中，因?yàn)?/span>，，

故可得，

.

故可得.

又因?yàn)?/span>，

解得.

在中，容易得.

故可得.

在中，.

故可得四面體外接球半徑.

第二步：根據(jù)外接球半徑和圓錐的關(guān)系，求得圓錐的母線和底面圓半徑.

若滿足題意，則該外接球應(yīng)該內(nèi)切于圓錐，

作出軸截面的平面圖，其中點(diǎn)為的中點(diǎn)，如下所示：

該截面圖中.

由題可知為等邊三角形，故可得；

在中，，解得.

故可得圓錐的底面圓半徑為.母線長(zhǎng).

故可得圓錐的側(cè)面積為.

故答案為：.