Question

設橢圓的左、右頂點分別為、，點在橢圓上且異于、兩點，為坐標原點.
（1）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；
（2）對于由(1)得到的橢圓，過點的直線交軸于點，交軸于點，若，求直線的斜率.

Answer 1

(1) .
(2) 的斜率.

試題分析：(1)先求出A，B的坐標，然后利用與的斜率之積為,建立關于a的方程，從而求出a值，進一步可求出橢圓的離心率.
（2）設直線 的斜率為 , 直線的方程為,則有，
設，由于三點共線，且,
再把此條件坐標可知,從而得到或,
再利用點P在橢圓上，可建立關于k的方程求出k的值.
解：(1) 由已知,設.             …………1分
則直線的斜率,
直線的斜率.
由,得.                           …………2分
    …………3分
,得,                                       …………4分
.                                             …………5分
橢圓的離心率.                                       …………6分
(2) 由題意知直線的斜率存在.                                 …………7分
設直線 的斜率為 , 直線的方程為                …………8分
則有，
設，由于三點共線，且
根據題意，得    …………9分
解得或            …………11分
又點在橢圓上，又由（1）知橢圓的方程為
所以…………①
或 …………②
由①解得，即,
此時點與橢圓左端點重合, 舍去;           …………12分
由②解得，即                            …………13分
直線直線的斜率.                             …………14分
點評：兩點的斜率公式;另外解本小題的關鍵是條件的使用，實際上此條件是用k表示出點P的坐標，再根據點P在橢圓上，建立關于k的方程求出k值.