Question

設D是△ABC的邊BC上的一點，點P在線段AD上，過點D作一直線分別與線段AB、PB交于點M、E，與線段AC、PC的延長線交于點F、N．如果DE=DF，求證：DM=DN．

Answer 1

分析：對于三個不同的三角形和對應的直線，應用梅涅勞斯定理，得到相應的三組線段之間比值的乘積是1，把三組比值的乘積相乘，約分整理，得到

DE

EM

•

FN

ND

•

MD

DF

=1，根據DE=DF，約分得到最簡形式，得到結果．

解答：證明：對△AMD和直線BEP用梅涅勞斯定理得：

AP

PD

•

DE

EM

•

MB

BA

=1（1），
對△AFD和直線NCP用梅涅勞斯定理得：

AC

CF

•

FN

ND

•

DP

PA

=1（2），
對△AMF和直線BDC用梅涅勞斯定理得：

AB

BM

•

MD

DF

•

FC

CA

=1（3）
（1）（2）（3）式相乘得：

DE

EM

•

FN

ND

•

MD

DF

=1，
又DE=DF，
∴有

DM

DM-DE

=

DN

DN-DE

，
∴DM=DN．

點評：本題考查梅涅勞斯定理，考查等量代換，考查整理比較麻煩的比例式時的方法，是一個基礎題，題目的運算量比較大，是一個不常見到的題目．