Question

設f(x)＝，其中a為正實數．
①當a＝時，求f(x)的極值點；②若f(x)為R上的單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

①x＝是極大值點，x＝是極小值點②(0,1]

f′(x)＝
①當a＝時，f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝或x＝.
當x<時，f′(x)>0；當<x<時，f′(x)<0；當x>時，f′(x)>0.
∴f(x)在上是增函數，上是減函數，上是增函數．
∴x＝是極大值點，x＝是極小值點．
②若f(x)為R上的單調函數，則f′(x)在R上不變號．由于a>0，又e^x>0，(1＋ax²)²>0.∴ax²－2ax＋1≥0在R上恒成立．即Δ＝4a²－4a≤0.
∴0<a≤1.所以a的范圍為(0,1]．