Question

【題目】已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且公比大于，，，.

（1）求和的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過的最大整數(shù).

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出關(guān)于和的方程組，求出這兩個(gè)量，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法可求出該數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）求出，可得出，然后利用分組求和法與裂項(xiàng)求和法求出，可得出，由此可得出不超過的最大整數(shù).

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.

由已知，得，而，.

又，解得，.

由，可得 ①，

由，可得 ②，

聯(lián)立①②，解得，，由此可得.

數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，

由，，有，

，

，

上述兩式相減，得.

得，數(shù)列的前項(xiàng)和為；

（3）由（1）知：，則.

，

，

，因此，不超過的最大整數(shù)為.