Question

在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F、G分別為棱AA₁、A₁B₁、A₁D₁的中點.

(1)求證:平面EFG∥平面BC₁D;

(2)求平面EFG與平面BC₁D的距離.

Answer 1

(1)證法一:如圖,連結B₁D₁,

∴B₁D₁∥BD.

∵E、F、G分別為A₁A、A₁B₁、A₁D₁的中點,∴FG∥B₁D₁.則FG∥BD,

∴FG∥平面BC₁D.

同理,EF∥DC₁.

∴EF∥平面BC₁D.

又∵EF∩FG=F,則平面EFG∥平面BC₁D.

證法二:連結A₁C,設A₁C與平面EFG、平面BC₁D的交點分別為O₁、O₂,根據三垂線定理易得A₁C⊥BD,A₁C⊥BC₁.

故直線A₁C⊥平面BC₁D.

同理可證A₁C⊥平面EFG.

∴平面EFG∥平面BC₁D.

(2)解析:由(1)可知,A₁C是平面EFG、平面BC₁D的公垂線,

∴線段O₁O₂的長度為平面EFG與平面BC₁D的距離,O₁O₂=A₁C-A₁O₁-CO₂.

在四面體C₁BCD中,連結C₁O₂并延長交BD于O,

∵正方體的棱長為a,故BC₁=.

在等邊△BC₁D中,C₁O=,O₂為△BC₁D的中心,C₁O₂=C₁O,

∴C₁O₂=.

Rt△CC₁O₂中,CO₂=.

同理,在四面體A₁EFG中,A₁O₁=a.

又∵A₁C=a,

∴O₁O₂=a.

∴平面EFG與平面BC₁D的距離為a.