Question

已知過點的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點．
（1）若以為直徑的圓經過原點，求直線的方程；
（2）若線段的中垂線交軸于點，求面積的取值范圍．

Answer 1

解：（1）（2） 。

試題分析：
思路分析：（1）通過分析已知條件，確定直線的斜率存在，故可設直線方程為，通過聯立方程組 ，消去，應用韋達定理及，建立k的方程，求解。
（2）通過設線段的中點坐標為
確定線段的中垂線方程為，
將用k表示， ，
利用二次函數的圖象和性質，得到，進一步確定三角形面積的最值。
解：（1）依題意可得直線的斜率存在，設為，
則直線方程為 1分
聯立方程 ，消去，并整理得  2分
則由，得
設，則       4分
      5分
以為直徑的圓經過原點

，解得        6分
直線的方程為，即         7分
（2）設線段的中點坐標為
由（1）得         8分
線段的中垂線方程為         9分
令，得    11分
又由（1）知，且 或
，   13分
面積的取值范圍為            14分
點評：中檔題，確定拋物線的標準方程，一般利用“待定系數法”，涉及直線與拋物線的位置關系，往往通過聯立方程組，應用韋達定理，簡化解題過程。