Question

如圖，在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐．AA₁=a，AB=2，BC=3，點P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=．

（Ⅰ）在正視圖右邊及下方區域畫出其側視圖、俯視圖（在答卷上作答）
（II）證明：PD⊥平面PBC；
（III）證明：當a=2時，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用長對正，寬相等，高平齊，即可得到側視圖、俯視圖；
（II）證明PD⊥PC，PD⊥PC，利用線面垂直的判定定理，即可得到結論；
（III）證明PC∥C₁D，利用線面平行的判定定理，可得結論．
解答：（I）解：如圖所示；
（II）證明：
因為，
CD=AB=2，
所以△PCD為等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（5分）
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，
所以BC⊥面CC₁D₁D，（6分）
而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，所以PD⊥PC．  …（7分）
又PC和BC為平面PBC內的兩條相交直線，（8分）
所以PD⊥平面PBC．                                    …（9分）
（III）解：長方體中AD∥BC，AD=BC，BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，
∴AD∥B₁C₁，AD=B₁C₁
∴A，D，B₁，C₁共面 …（10分）
長方體中DD₁=AA₁=a=2，CD=AB=2，四邊形CC₁D₁D是一個正方形，∠C₁DC=45°，
而∠PCD=45°，且CD、C₁D與PC在同一個平面內，…（11分）
所以PC∥C₁D．                                         …（12分）
又C₁D?面AB₁C₁D，PC?面AB₁C₁D…（13分）
所以PC∥面AB₁C₁D，即PC∥平面AB₁D．                   …（14分）
點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．