Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù) .
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：.

Answer 1

解：（1）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)時(shí)，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)-1＜＜0時(shí)，令=0，解得.
則當(dāng)時(shí)，＞0；時(shí)，＜0.
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823184155623246.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以
當(dāng)時(shí)，恒成立
令，則,            
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823184155748547.gif" style="vertical-align:middle;" />，由得，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上遞增，在上遞減.所以，故 
（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，即，
令，則，即   
所以，，…，，
相加得
而
所以，

略