Question

已知橢圓C：的左焦點為F（-1，0），離心率為，過點F的直線l與橢圓C交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過點F不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知：c=1，a²=b²-c²，e=，由此能夠求出橢圓的方程．
（II）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），由，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由直線AB過橢圓的左焦點F，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點N（x，y），x₁+x₂=，x=，垂直平分線NG的方程為y-y=-，由此能求出點G橫坐標的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知：c=1，a²=b²-c²，e=…（2分）
解得：a=，b=1（3分）
故橢圓的方程為：=1（4分）
（II）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），（5分）
聯立，得，
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0（7分）
∵直線AB過橢圓的左焦點F∴方程有兩個不等實根．（8分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點N（x，y）
則x₁+x₂=（9分）
x=（10分）
垂直平分線NG的方程為y-y=-，（11分）
令y=0，得x_G=x+ky=-
=-．（12分）
∵k≠0，∴-＜0（13分）
∴點G橫坐標的取值范圍為（-，0）．（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．