Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是圓內接四邊形，，，.

(1)求證：平面⊥平面；

(2)若點在平面內運動，且平面，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，交于點，連接，先通過證明，得出平面，再根據面面垂直的判定定理由平面證明平面BED⊥平面即可；（2）取的中點，的中點，先通過平面//平面得出點在線段上，然后建立空間直角坐標系并設，從而求出平面的法向量及的坐標，設直線與平面所成的角為，則，最后根據即可求出的最大值.

(1)證明：如圖，連接，交于點，連接，

因為，，，

所以，易得，

所以，

所以.

又，，所以⊥平面，

又平面，所以.

又底面是圓內接四邊形，

因為，

在中，由，，可得，，

所以，，

易得與相似，所以，

即.

又、平面，，

所以平面，

又平面，所以平面BED⊥平面.

(2)解：如圖，取的中點，的中點，連接，，，

則，由(1)知，，即，

所以為正三角形，所以，又，

所以平面//平面，

所以點在線段上.

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

所以，，

，，

設平面的法向量，

則，即，

令，則，

設，可得

，

設直線與平面所成的角為，

則，

因為，所以當時，取得最大值.

故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.