Question

如圖，正在中國釣魚島附近的A處執行任務的海監船甲和在B處執行任務的海監船乙，同時收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號，此時漁船丙在海監船甲的南偏東40°方向距海監船甲70km的C處，海監船乙在海監船甲的南偏西20°方向的B處，兩艘海監船協調后立即讓海監船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援，海監船乙仍留在B處執行任務，海監船甲航行30km到達D處時，收到新的指令另有重要任務必須執行，于是立即通知在B處執行任務的海監船乙前去救援漁船丙（海監船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙），此時B、D兩處相距42km，問海監船乙要航行多少距離才能到達漁船丙所在的位置C處實施營救．

Answer 1

分析：設∠ABD=α，在△ABD中，利用正弦定理求出sinα或α的大小，再在△BDC中，利用余弦定理求解即可．

解答：解：


設∠ABD=α，在△ABD中，AD=30，BD=42，∠BAD=60°，由正弦定理得：

AD

sinα

=

BD

sin∠BAD

，sinα=

AD

BD

sin∠BAD=

30

42

sin60°=

5 3

14

，
又∵AD＜BD
∴0°＜α＜60°，
cosα=

1-sin2α

=

11

14

cos∠BDC=cos(60°+α)=-

1

7

，
在△BDC中，由余弦定理得：BC²=DC²+BD²-2DC•BDcos∠BDC=40²+42²-80×42cos（60°+α）=3844
∴BC=62（km）
答：漁政船乙要航行62km才能到達漁船丙所在的位置C處實施營救

點評：本題考查正弦定理、余弦定理在實際問題中的應用．要將實際問題中的數據轉化為三角形中的數據，根據條件選擇合適定理直接求解或借用方程間接求解．