Question

如圖，曲線C₁是以原點O為中心，F₁，F₂為焦點的橢圓的一部分，曲線C₂是以O為頂點，F₂（1，0）為焦點的拋物線的一部分，是曲線C₁和C₂的交點．
（I）求曲線C₁和C₂所在的橢圓和拋物線的方程；
（II）過F₂作一條與x軸不垂直的直線，與曲線C₂交于C，D兩點，求△CDF₁面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設出拋物線以及橢圓方程，根據F₂（1，0）為焦點，求出p=1，得到拋物線方程；再根據（，）在橢圓上，即可求出橢圓方程；
（II）設出直線方程x=my+1，并根據條件求出m的取值范圍；再聯立直線與拋物線方程，根據韋達定理以及|y₁-y₂|=求出三角形面積的表達式，最后結合m的取值范圍即可求出△CDF₁面積的取值范圍．
解答：解：（I）設拋物線方程為：y²=2px，由F₂（1，0）為焦點，所以p=1．∴y²=4x
設橢圓方程為；代入（，），解得a²=9，
所以橢圓方程為：=1．
（II）設直線方程為：x=my+1，則m∈（-，0）∪（0，）．
由得y²-4my-4=0．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
所以=×2×|y₁-y₂|==4，因為m²∈（0，）．
∴S_△∈（4，）．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系．解決第二問的關鍵在于把△CDF₁面積轉化為上下兩個三角形面積的和，進而轉化為求|y₁-y₂|的問題．