Question

是否存在常數a、b、c使等式1²+2²+3²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=an（bn²+c）對于一切n∈N^*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由.

Answer 1

假設存在a、b、c使
1²+2²+3²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=an（bn²+c）
對于一切n∈N^*都成立.
當n=1時，a（b+c）=1；
當n=2時，2a（4b+c）=6；
當n=3時，3a（9b+c）=19.
解方程組 解得
證明如下：
①當n=1時，由以上知存在常數a,b,c使等式成立.
②假設n=k（k∈N^*）時等式成立，
即1²+2²+3²+…+k²+（k-1）²+…+2²+1²
=k（2k²+1）；
當n=k+1時，
1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+（k-1）²+…+2²+1²
=k（2k²+1）+（k+1）²+k²
=k（2k²+3k+1）+（k+1）²
=k（2k+1）（k+1）+（k+1）²
=（k+1）（2k²+4k+3）
=（k+1）［2（k+1）²+1］.
即n=k+1時，等式成立.
因此存在a=，b=2，c=1，使等式對一切n∈N^*都成立.