Question

（I）若不等式|2x-a|+a≤6的解集為{x|-2≤x≤3}，求實數a的值；
（II）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I） 由題意可得 得|2x-a|≤6-a，故a-3≤x≤3，再結合解集為{x|-2≤x≤3}可得 a-3=-2，由此求得a的值．
（II）由題意可得|4a|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立．顯然a=0滿足條件，a≠0時，有4≥|2+x|+|2-x|．再由|2+x|+|2-x|≥|2+x+2-x|=4，可得|2+x|+|2-x|=4，從而得到實數x的取值范圍．

解答：解：（I） 由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，
∴a-6≤2x-a≤6-a，解得a-3≤x≤3，
由題意可得 a-3=-2，即a=1．（5分）
（II）由絕對值不等式的性質可得|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=|4a|，
∴|4a|≥|a|（|2+x|+|2-x|）．
當a=0時，上式恒成立，故x∈R．
當a≠0時，消去|a|有4≥|2+x|+|2-x|．
又∵|2+x|+|2-x|≥|2+x+2-x|=4，
∴|2+x|+|2-x|=4，∴-2≤x≤2．
當a=0時，解集為R；當a≠0時，解集為{x|-2≤x≤2}．       （10分）

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的性質和解法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．