Question

給定正整數(shù)n（n≥2）按圖方式構(gòu)成三角形數(shù)表：第一行依次寫上數(shù)1，2，3，…，n，在下面一行的每相鄰兩個(gè)數(shù)的正中間上方寫上這兩個(gè)數(shù)之和，得到上面一行的數(shù)（比下一行少一個(gè)數(shù)），依此類推，最后一行（第n行）只有一個(gè)數(shù)．例如n=6時(shí)數(shù)表如圖所示，則當(dāng)n=2010時(shí)最后一行的數(shù)是

2011×2²⁰⁰⁸

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，觀察圖表中每一行的第一個(gè)數(shù)，依次為1、3、8、20、48、…，結(jié)合數(shù)列的知識(shí)，可得變化的規(guī)律，進(jìn)而可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，觀察圖表可得，n=1時(shí)，最后一行的數(shù)是1，有（1+1）×2^1-2=2×

1

2

=1成立，
n=2時(shí)，最后一行的數(shù)（即圖表第2行第1個(gè)數(shù)）是3，有（2+1）×2^2-2=3×1=3成立，
n=3時(shí)，最后一行的數(shù)（即圖表第3行第1個(gè)數(shù)）是8，有（3+1）×2^3-2=4×2=8成立，
n=4時(shí)，最后一行的數(shù)（即圖表第4行第1個(gè)數(shù)）是20，有（4+1）×2^4-2=5×4=20成立，
n=5時(shí)，最后一行的數(shù)（即圖表第5行第1個(gè)數(shù)）是48，有（5+1）×2^5-2=6×8=48成立，
…
以此類推，
當(dāng)n=k時(shí)最后一行的數(shù)是（k+1）×2^k-2，
當(dāng)n=2010時(shí)最后一行的數(shù)是（2010+1）×2^2010-2=2011×2²⁰⁰⁸，
故答案為2011×2²⁰⁰⁸．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理的運(yùn)用，類似與歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題時(shí)注意結(jié)合常見(jiàn)數(shù)列的性質(zhì)來(lái)分析．