Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸兩端點分別為A，B，P（x₀，y₀）（y₀＞0）是橢圓上的動點，以AB為一邊在x軸下方作矩形ABCD，使AD=kb（k＞0），PD交AB于點E，PC交AB于點F．

（Ⅰ）如圖（1），若k=1，且P為橢圓上頂點時，△PCD的面積為12，點O到直線PD的距離為

6

5

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若k=2，試證明：AE，EF，FB成等比數列．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的面積計算公式、點到直線的距離公式及其橢圓的性質可得a，b即可；
（II）利用斜率計算公式、兩點間的距離公式、點在橢圓上的意義及其等比數列的定義即可得出．

解答：解：（Ⅰ）如圖，當k=1時，CD過點（0，-b），CD=2a，
∵△PCD的面積為12，∴

1

2

×2a×2b=12，即ab=6．①
此時D（-a，-b），∴直線PD方程為2bx-ay+ab=0．
∴點O到PD的距離d=

ab

4b2+a2

=

6

5

． ②
由①②解得a=3，b=2或a²=16，b2=

9

4

．       
∴所求橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1或

x2

16

+

4y2

9

=1．  
（Ⅱ）如圖，當k=2時，C（a，-2b），D（-a，-2b），設E（x₁，0），F（x₂，0），
由D，E，P三點共線，∴k_PD=k_DE，∴

y0+2b

x0+a

=

2b

x1+a

，化為x1+a=

2b(x0+a)

y0+2b

=|AE|，
由C，F，P三點共線，同理可得：a-x2=

2b(a-x0)

y0+2b

=|FB|，
又

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，∴|AE||FB|=

4b2(a2- x 2 0 )

(y0+2b)2

=

4a2 y 2 0

(y0+2b)2

．        
而|EF|=2a-|AE|-|FB|=2a-

2b(x0+a)

y0+2b

-

2b(a-x0)

y0+2b

=2a-

4ab

y0+2b

=

2ay0

y0+2b

．
∴|EF|²=|AE||FB|，即有|AE|，|EF|，|FB|成等比數列．

點評：熟練掌握橢圓的定義及其性質、三角形的面積計算公式、點到直線的距離公式、斜率計算公式、兩點間的距離公式、點在橢圓上的意義及其等比數列的定義等是解題的關鍵．