Question

下列說法：
①方程2^-x+x²=3的實數解的個數為1；
②函數y=a^x的圖象可以由函數y=2a^x（其中a＞0且a≠1）平移得到；
③若對x∈R，有f（x-1）=-f（x），則f（x）的周期為2；
④函數y=f（1+x）與函數y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱．
其中正確的命題的序號

③④

．

Answer 1

分析：利用函數圖象的交點個數，來判斷方程的解的個數，從而判斷①是否正確；
根據函數圖象的變化規律判斷②是否正確；
利用周期函數的定義，驗證③是否正確；
根據函數圖象上的任一點關于直線的對稱點是否在另一函數圖象上，來判斷兩函數圖象是否關于直線對稱，從而判斷④是否正確．

解答：解：對①選項，利用函數f（x）=2^-x=(

1

2

)x與f（x）=3-x²的圖象，判斷兩函數的圖象有兩個交點，∴方程有兩個實數解，故①錯誤；
對②選項，函數y=a^x的圖象可由函數y=2a^x的圖象的點，橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的

1

2

得到，∴②錯誤；
對③選項，∵f（x）=-f（x-1），∴f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）．∴則f（x）的周期為2，故③正確；
對④選項，對函數y=f（1+x）圖象上任一點P（a，b），關于x=1的對稱點Q（2-a，b），∵f（2-a）=f[1+（1-a）]=f[1-（1-a）]=f（a）=b，
∴Q在函數y=f（1-x）的圖象上，故④正確．
故答案是③④．

點評：本題借助考查判斷的真假判定，考查函數零點的判定、函數的圖象變化規律及函數的周期．