Question

已知F₁，F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點．
（Ⅰ）若點P為雙曲線與圓x²+y²=a²+b²的一個交點，且滿足|PF₁|=2|PF₂|，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設雙曲線的漸近線方程為y=±x，F₂到漸近線的距離是

2

，過F₂的直線交雙曲線于A，B兩點，且以AB為直徑的圓與y軸相切，求線段AB的長．

Answer 1

（Ⅰ）由題設得：

|PF1|=2|PF2| |PF1|-|PF2|=2a

，得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
因為點P為雙曲線與圓x²+y²=a²+b²=c²的一個交點，∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，則16a²+4a²=4c²，即5a²=c²，故離心率e=

c

a

=

5

；
（Ⅱ）∵雙曲線的漸近線方程為y=±x，F₂到漸近線的距離是

2

，
∴

c

2

=

2

，所以c=2，又

b

a

=1，a²+b²=c²，得a=b=

2

，
所以雙曲線方程為x²-y²=2，F₂（2，0），e=

2

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由雙曲線的焦半徑公式得：|AF2|=ex1-a=

2

x1-

2

，
|BF2|=ex2-a=

2

x2-

2

，
∵以AB為直徑的圓與y軸相切，∴

x1+x2

2

=

1

2

|AB|=

1

2

(|AF2|+|BF2|)．
∴x1+x2=

2

(x1+x2)-2

2

，則x1+x2=

2 2

2 -1

=4+2

2

，
所以|AB|=x1+x2=4+2

2

．