Question

如圖所示,已知拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四個點.

(1)求r的取值范圍;

(2)當四邊形ABCD的面積最大時,求對角線AC、BD的交點P的坐標.

 

Answer 1

【答案】

（1）（,4） （2）（,0）

【解析】

解:(1)將y2=x代入(x-4)2+y2=r2,

并化簡得x2-7x+16-r2=0,①

E與M有四個交點的充要條件是方程①有兩個不等的正根x1,x2,

由此得

解得<r2<16.

又r>0,

所以r的取值范圍是（,4）.

(2)不妨設E與M的四個交點的坐標為:

A(x1,)、B(x1,-)、C(x2,-)、D(x2,).

則直線AC、BD的方程分別為

y-=·(x-x1),

y+=(x-x1),

解得點P的坐標為(,0).

設t=,

由t=及(1)知0<t<.

由于四邊形ABCD為等腰梯形,

因而其面積S=(2+2)·|x2-x1|.

則S2=(x1+x2+2)[(x1+x2)2-4x1x2].

將x1+x2=7,=t代入上式,

并令f(t)=S2,

得f(t)=(7+2t)2·(7-2t)（0<t<）.

求導數,f′(t)=-2(2t+7)(6t-7),

令f′(t)=0得t=,t=-(舍去),

當0<t<時,f′(t)>0;

當<t<時,f′(t)<0.

故當且僅當t=時,f(t)有最大值,

即四邊形ABCD的面積最大.

故所求的點P的坐標為（,0）.