Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)在上的最小值和最大值；

（2）當時，討論函數(shù)的單調性；

（3）是否存在實數(shù)，對任意的，且，都有恒成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）最小值為,；

（2）①當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，②當時，在上是增函數(shù)，③當時，則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（3）.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)定義域為,當時求導判斷導函數(shù)得正負,即可得函數(shù)單調性,從而得到最值；（2）因為,根據(jù),將與進行比較,分類討論,確定函數(shù)的單調性；（3）假設存在使不等式恒成立,不妨設,若，即，構建函數(shù),在為增函數(shù),只需在恒成立即可.

試題解析：解：

（1）當時，.

則，

∴當時，，當時，，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

∴當時，取得最小值，其最小值為.

又，.

，∴

∴.

（2）的定義域為，

，

①當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

②當時，在上是增函數(shù).

③當時，則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

（3）假設存在實數(shù)，對任意的，且，都有恒成立，

不妨設，若，即，

令

只要在為增函數(shù)

要使在恒成立，只需，，

故存在滿足題意.