Question

【題目】如圖所示，在多面體中，平面，，點在上，點是的中點，且，且.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點為，連接、，根據等比三角形的性質可得，由線面垂直的性質定理可得，進而證出，利用線面垂直的判定定理可得平面，再由題意可得，，，可得，即得證.

（Ⅱ）以點為坐標原點，以以及的垂線，為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，利用空間向量的數量積即可求出二面角.

（Ⅰ）如圖，取的中點為，連接、.

在中，因為，所以.

因為平面，平面，所以.

而，所以.

由于，所以平面.

點、是邊、的中點，所以，.

又因為，，所以∥，

因此四邊形是平行四邊形，，故平面.

（Ⅱ）如圖，以點為坐標原點，分別以以及的垂線，為軸，

建立空間直角坐標系.

則，，，，.

于是，.

設是平面的一個法向量，

則由，，得，

取.

同理可求出平面的一個法向量.

于是.

故二面角的余弦值是.