Question

已知{a_n}是等差數列，公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數列，S_n是{a_n}的前n項和．
（1）求證：S₁，S₃，S₉成等比數列；
（2）設數列bn=

nan

Sn

．是否存在正整數m，使得n＞m時，b_n＞1.99恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據{a_n}是等差數列，公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數列，可得d=2a₁（d≠0⇒a₁≠0），進而可證S₁，S₃，S₉成等比數列；
（2）根據（1）可表示出數列bn=

nan

Sn

． 利用，b_n＞1.99可知對于正整數m≥100時，均滿足題目條件，從而可解．

解答：證明：（1）由已知得，（a₁+2d）²=a₁（a₁+12d）⇒d=2a₁（d≠0⇒a₁≠0），
由此，S₁=a₁，S₃=9a₁，S₉=81a₁⇒S₃²=S₁•S₉，命題得證．
（2）∵d=2a1⇒an=(2n-1)a1，⇒Sn=n2a1⇒bn=

nan

Sn

=2-

1

n

．
假設存在正整數m滿足條件，即使得當n＞m時，2-

1

n

＞1.99，解得n＞100．∴對于正整數m≥100時，均滿足題目條件，故m的最小值為100．

點評：本題以等差數列為載體，綜合考查等差數列與等比數列，關鍵是正確利用通項公式．