Question

【題目】如圖，已知與分別是邊長(zhǎng)為1與2的正三角形， ，四邊形為直角梯形，且， ，點(diǎn)為的重心， 為中點(diǎn)， 平面， 為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值為，試求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：⑴連延長(zhǎng)交于，推導(dǎo)出，又為中點(diǎn)，所以，又，所以，從而證明平面；

⑵為原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值

解析：（Ⅰ）解：在中，連延長(zhǎng)交于，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心

所以，且為中點(diǎn)，又，

所以，所以；

又為中點(diǎn)，所以，又，

所以，所以四點(diǎn)共面

又平面， 平面

所以平面

（Ⅱ）由題意， 平面，所以，平面平面，且交線為，

因?yàn)?/span>，所以平面，

又四邊形為直角梯形， ， ，所以，所以平面

因?yàn)?/span>， ，所以平面平面，

又與分別是邊長(zhǎng)為1與2的正三角形，

故以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則， ， ， ， ， ，

因?yàn)?/span>

所以， ，

設(shè)平面的法向量，則，取，

平面的法向量，

所以二面角的余弦值 ，

，又，

直線與所成角的余弦值為.