Question

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

x=cos2α y=1+2cosα.

(α為參數），點M的坐標為（-1，1）；若以該直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，
（Ⅰ）請將點M的直角坐標化為極坐標（限定ρ≥0，-π＜θ≤π）；
（Ⅱ）若點N是曲線C上的任一點，求線段MN的長度的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出ρ=

(-1)2+12

=

2

，根據點M在第二象限內，且tanθ=

1

-1

=-1，求出θ=

3π

4

，即可得到點M的極坐標．
（Ⅱ）根據兩點間的距離公式并化簡可得求出|MN|=

(cos2α+3)2-8

，故當cosα=0時，|MN|取最小值1；
當cosα=±1時，|MN|取最大值2

2

．

解答：解：（Ⅰ）ρ=

(-1)2+12

=

2

，又點M在第二象限內，且tanθ=

1

-1

=-1，∴θ=

3π

4

．
即點M的極坐標(

2

，

3π

4

)．
（Ⅱ）|MN|=

(x+1)2+(y-1)2

=

(cos2α+1)2+(1+2cosα-1)2

=

cos4α+6cos2α+1

=

(cos2α+3)2-8

，
故當cosα=0時，|MN|取最小值1；當cosα=±1時，|MN|取最大值2

2

．

點評：本題考查把直角坐標方程化為極坐標方程的方法，兩點間的距離公式的應用，根據三角函數的值求角，屬于基礎題．