Question

(本題滿分13分) 如圖，是離心率為的橢圓,
：()的左、右焦點，直線：將線段分成兩段，其長度之比為1 : 3．設是上的兩個動點，線段的中點在直線上，線段的中垂線與交于兩點．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 是否存在點，使以為直徑的圓經過點，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)存在兩點符合條件，坐標為，理由見解析

試題分析：(Ⅰ) 設，則＝，所以＝1．
因為離心率e＝，所以＝．
所以橢圓C的方程為．                                                      ……5分
(Ⅱ) 當直線垂直于軸時，直線方程為＝－，
此時(，0)、(,0) ，．不合題意；                           ……7分
當直線不垂直于軸時，設存在點(－，) (≠0)，直線的斜率為，
．
由  得＝0，則，
故．此時，直線斜率為，的直線方程為．
即．
聯立 消去，整理得．
所以，．                                           ……10分
由題意0，于是

                      =0．

因為在橢圓內，符合條件；
綜上，存在兩點符合條件，坐標為．                               ……13分
點評：設直線方程時，要考慮到直線方程斜率是否存在；對于探究性問題，可以先假設存在，再進行計算，如果能求出來，就說明存在，如果求不出來或者得出矛盾，則說明不存在.