Question

如下圖，已知△OFQ的面積為S，且·=1，

(1)若S的范圍為<S<2,求向量與的夾角θ的取值范圍；

(2)設||=c(c≥2),S=c,若以O為中心，F為焦點的橢圓經過點Q，當||取得最小值時，求此橢圓的方程.

Answer 1

(1) <θ<arctan4.

(2) 橢圓方程為.

解析:

本題考查向量的基本知識、三角知識及最值問題在解析幾何中的綜合運用.

 (1)∵·=1,∴||·||·cosθ=1.

又||·||·sin(180°－θ)=S,

∴tanθ=2S,S=.

又<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,

∴<θ<arctan4.

(2)以所在的直線為x軸，以的過O點的垂線為y軸建立直角坐標系(如下圖).

∴O(0,0),F(c,0),Q(x₀,y₀).

設橢圓方程為+=1.

又·=1，S=c,

∴(c,0)·(x₀－c,y₀)=1.                                                                                             ①

·c·|y₀|=c.                                                                                                     ②

由①得c(x₀－c)=1x₀=c+.

由②得|y₀|=.

∴||==.

∵c≥2,

∴當c=2時，||_min==,

此時Q(，±)，F(2，0).

代入橢圓方程得

∴a²=10,b²=6.

∴橢圓方程為.

評析:新知識(向量)在幾何中的應用是值得關注的趨勢.