Question

若函數f（x）滿足：對定義域內任意兩個不相等的實數x₁，x₂，都有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，則稱函數f（x）為H函數．已知f（x）=x²+cx，且f（x）為偶函數．
（1）求c的值；
（2）求證：f（x）為H函數；
（3）試舉出一個不為H函數的函數g（x），并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-x）=f（x）對任意的x都成立，從而可求c及f（x）
（2）要證f（x）為H函數，只要證明

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，即可
（3）例：g（x）=log₂x（說明：底數大于1的對數函數或-x²都可以即上凸函數）

解答：解：（1）因為f（x）=x²+cx，為偶函數，
∴f（-x）=f（x）對任意的x都成立
即x²-cx=x²+cx對任意x都成立
即cx=0對任意的x都成立
所以c=0，f（x）=x²
（2）∵.

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12+x22

2

-(

x1+x2

2

)2…（4分）
=

1

4

(x1-x2)2＞0，…（5分）
∴

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，即f（x）為H函數．…（6分）
（3）例：g（x）=log₂x．…（8分）
（說明：底數大于1的對數函數或-x²都可以）．
理由：當x₁=1，x₂=2時，

g(x1)+g(x2)

2

=

1

2

(log21+log22)=

1

2

，…（10分）
g(

x1+x2

2

)=log2

1+2

2

=log2

3

2

＞log2

2

=

1

2

，…（12分）
顯然不滿足

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)，
所以該函數g（x）=log₂x不為H函數．…（14分）

點評：本題主要考查偶函數的定義的應用，及比較法在比較大小中的應用，及利用新定義解決試題的能力