Question

【題目】某地區(qū)進(jìn)行疾病普查，為此要檢驗(yàn)每一人的血液，如果當(dāng)?shù)赜?/span>人，若逐個(gè)檢驗(yàn)就需要檢驗(yàn)次，為了減少檢驗(yàn)的工作量，我們把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有個(gè)人，把這個(gè)個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這個(gè)人的血液全為陰性，因而這個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果為陽(yáng)性，為了明確這個(gè)個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽(yáng)性，就要對(duì)這個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，這時(shí)個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中，每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是獨(dú)立的，且每個(gè)人是陽(yáng)性結(jié)果的概率為.

（Ⅰ）為熟悉檢驗(yàn)流程，先對(duì)3個(gè)人進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)，若，求3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率；

（Ⅱ）設(shè)為個(gè)人一組混合檢驗(yàn)時(shí)每個(gè)人的血需要檢驗(yàn)的次數(shù).

①當(dāng)，時(shí)，求的分布列；

②是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí)，求當(dāng)和滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）①見(jiàn)解析，②當(dāng)時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得結(jié)果;（Ⅱ）①先確定隨機(jī)變量，再分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，②先求數(shù)學(xué)期望，再根據(jù)條件列不等式，解得結(jié)果.

（Ⅰ）對(duì)3人進(jìn)行檢驗(yàn)，且檢驗(yàn)結(jié)果是獨(dú)立的，

設(shè)事件：3人中恰有1人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則其概率

（Ⅱ）①當(dāng)，時(shí)，則5人一組混合檢驗(yàn)結(jié)果為陰性的概率為，每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為次，若混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，則其概率為，則每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為次，故的分布列為

②分組時(shí)，每人檢驗(yàn)次數(shù)的期望如下

∴

不分組時(shí)，每人檢驗(yàn)次數(shù)為1次，要使分組辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù)，需 即

所以當(dāng)時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).