Question

【題目】已知函數 ．
（1）若 ，求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若x=﹣1是函數y=f（x）的一個極值點，試判斷此時函數y=f（x）的零點個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=x2﹣2bx+2．

時，f'（x）=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2），

令f'（x）＞0解得x＜1或x＞2．

所以， 時函數的單調遞增區間為（﹣∞，1），（2，+∞）．

令f'（x）＜0解得1＜x＜2．

所以， 時函數的單調遞減區間為（1，2）

（2）解：因為x=﹣1是函數y=f（x）的一個極值點，

則f'（﹣1）=0，故：1+2b+2=0解得： ，

此時f'（x）=x2﹣2bx+2=x2+3x+2，

令f'（x）=0解得：x=﹣2或x=﹣1．

則x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下．

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，﹣1）	﹣1	（﹣1，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

故此時x=﹣1時，f（x）有極小值 ；

x=﹣2時，f（x）有極大值 ；

則當x＞﹣2時，f（x）≥f（﹣1）＞0，顯然函數在（﹣2，+∞）上無零點．

又 ，（也可取x=﹣4等），則f（﹣3）f（﹣2）＜0，

結合函數在（﹣∞，﹣2）上單調遞增，故由零點存在定理知，函數在（﹣∞，﹣2）上必有唯一零點．

綜上：若x=﹣1是函數y=f（x）的一個極值點，則此時函數y=f（x）在R上有唯一零點

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）根據x=﹣1是函數y=f（x）的一個極值點，求出b的值，求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，從而判斷函數的零點個數即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．