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（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=______．

設t=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_n^n…①
C_n^m=C_n^n-m
t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_n^n…②
由①②相加得：
2t=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^r+…+C_nⁿ）=（n+2）2ⁿ
∴t=（n+2）2^n-1
故答案為：（n+2）2^n-1

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科目：高中數學 來源： 題型：

若C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=256，則(x-

)n+1的展開式中x⁵項的系數是

．

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科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

請先閱讀：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的兩邊求導，得：（cos2x）′=（2cos²x-1）′，由求導法則，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化簡得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ（x∈R，正整數n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=

k=2

xk-1．
（2）對于正整數n≥3，求證：
（i）

k=1

(-1)kk

=0；
（ii）

k=1

(-1)kk2

=0；
（iii）

k=1

k+1

2n+1-1

n+1

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

14、（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=

（n+2）2^n-1

．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=________．

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（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=________．

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（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：Cn1+2Cn2+…+rCnr+nCnn=n•2n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（r+1）Cnr+…+（n+1）Cnn=________．

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（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=________．