Question

已知函數，.
（1）若函數在其定義域上為增函數，求的取值范圍；
（2）當時，函數在區間上存在極值，求的最大值.
（參考數值:自然對數的底數≈）.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）解法1是將函數在其定義域上為增函數等價轉化為不等式在區間上恒成立，利用參數分離法得到不等式在上恒成立，并利用基本不等式求出的最小值，從而求出的取值范圍；解法2是求得導數，將問題等價轉化為不等式在上恒成立，結合二次函數零點分布的知識求出的取值范圍；（2）先將代入函數的解析式并求出的導數，構造新函數，利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理找出函數的極值點所存在的區間，結合條件確定的最大值.
試題解析：（1）解法1：函數的定義域為，
，.
函數在上單調遞增，
，即對都成立.
對都成立.
當時，，當且僅當,即時，取等號.
，即，的取值范圍為.
解法2：函數的定義域為，
，.
方程的判別式.
①當，即時，，
此時，對都成立,
故函數在定義域上是增函數.
②當，即或時，要使函數在定義域上為增函數，
只需對都成立.
設,則，得.
故.
綜合①②得的取值范圍為；
（2）當時，.
.
函數在上存在極值，
∴方程在上有解,
即方程在上有解.
令，由于，則，
函數在上單調遞減.
，
，
函數的零點.
方程在上有解，，.
，的最大值為.