Question

如圖所示,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側棱的長都是底面邊長的倍,P為側棱SD上的點.

(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的條件下,側棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）30°；（3）存在  SE∶EC=2∶1

解析試題分析：（1）設AC交BD于O,以 、、分別為S,D,C,
x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系，則S,D,C,
求出，的坐標，并計算得到·=0，從而AC⊥SD.（2）為平面PAC的一個法向量，
為平面DAC的一個法向量，向量與的夾角等于二面角PACD的平面角，根據向量的夾角公式計算出與的夾角即可.（3）假設存在一點E使BE∥平面PAC，設=t(0≤t≤1),則=+=+t,因為·=0，可建立關于t的等式，解之即可.
試題解析：(1)證明:連接BD,設AC交BD于O,
由題意知SO⊥平面ABCD,以O為坐標原點,、、分別為
x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系.

設底面邊長為a,，則高SO=a.于是S,D,C,
=,=,·=0,故OC⊥SD,從而AC⊥SD.  4分
(2)解:由題設知,平面PAC的一個法向量為=,
平面DAC的一個法向量為=,則cos<,>==,
故所求二面角的大小為30°. 8分
(3)解:在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC.，由(2)知是平面PAC的一個法向量,
且=,=,        設=t(0≤t≤1),
=+=+t=,而·=0t=,
即當SE∶EC=2∶1時,BE∥平面PAC.          12分
考點：1.空間兩向量垂直的充要條件；2.二面角；3.直線與平面平行判定.