Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=log （1﹣x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的表達式，并直接寫出其單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（1）=f（﹣1）=﹣2；
（2）解：令x＞0，則﹣x＜0，

則f（﹣x）= （1+x）﹣x=f（x），

故x＞0時，f（x）= （1+x）﹣x，

故f（x）= ；

故f（x）在（﹣∞，0]遞增，在（0，+∞）遞減；

（3）解：若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，

lga＞0時，f（lga）＜f（1），則lga＞1，

lga＜0時，f（lga）＜f（﹣1），則lga＜﹣1，

故lga＞1或lga＜﹣1，

解得：a＞10或0＜a＜ ．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f（1）即f（﹣1）的值即可；（2）令x＞0，得到﹣x＜0，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f（x）的解析式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為f（lga）＜﹣2，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．