Question

【題目】以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C1的參數方程為 ，（α為參數，且α∈[0，π]），曲線C2的極坐標方程為ρ=﹣2sinθ．
（Ⅰ）求C1的極坐標方程與C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）若P是C1上任意一點，過點P的直線l交C2于點M，N，求|PM||PN|的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）消去參數可得x2+y2=1，由α∈[0，π），則﹣1x1，0y1， ∴曲線C1是x2+y2=1在x軸上方的部分，
∴曲線C1的極坐標方程為ρ=1（0θπ）．
曲線C2的直角坐標方程為x2+（y+1）2=1；
（Ⅱ）設P（x0 ， y2），則0y01，直線l的傾斜角為α，
則直線l的參數方程為：{x=x0+tcosαy=y0+tsinα}（t為參數）．
代入C2的直角坐標方程得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα+1）2=1，
由直線參數方程中t的幾何意義可知|PM||PN|=|1+2y0|，
因為0y21，
∴|PM||PN|=∈[1，3]
【解析】（1）求出C1的普通方程，即可求C1的極坐標方程，利用極坐標方程與直角坐標方程的互化方法得出C2的直角坐標方程；（2）直線l的參數方程，代入C2的直角坐標方程得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα+1）2=1，由直線參數方程中t的幾何意義可知|PM||PN|=|1+2y0|，即可求|PM||PN|的取值范圍．