Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證AE⊥平面BCE，只需證明AE垂直平面BCE內的兩條相交直線BF、BC即可；
（Ⅱ）連接AC、BD交于G，連接FG，說明∠FGB為二面角B-AC-E的平面角，然后求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）利用V_D-ACE=V_E-ACD，求點D到平面ACE的距離，也可以利用空間直角坐標系，向量的數量積，證明垂直，求出向量的模．

解答：解：（I）∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵二面角D-AB-E為直二面角，
∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，
又BF?平面BCE，BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．

（II）連接AC、BD交于G，連接FG，
∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
∵BF⊥平面ACE，BG⊥AC，?AC⊥平面BFG，
∴FG⊥AC，∠FGB為二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，
又AE=EB，AB=2，AE=BE=

2

，
在直角三角形BCE中，CE=

BC2+BE2

=

6

，BF=

BC•BE

CE

=

2 2

6

=

2

3

在正方形中，BG=

2

，在直角三角形BFG中，sin∠FGB=

BF

BG

=

2 3

2

=

6

3

∴二面角B-AC-E為arcsin

6

3

．

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACE的距離等于B到平面ACE的距離，BF⊥平面ACE，線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離，即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為

2

3

=

2 3

3

．
另法：過點E作EO⊥AB交AB于點O．OE=1．
∵二面角D-AB-E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD．
設D到平面ACE的距離為h，
∵V_D-ACE=V_E-ACD，∴

1

3

S△ACB•h=

1

3

S△ACD•EO．
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC．∴h=

1 2 AD•DC•EO

1 2 AE•EC

=

1 2 ×2×2×1

1 2 2 × 6

=

2 3

3

∴點D到平面ACE的距離為

2 3

3

．

解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，
過O點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，如圖．
∵AE⊥面BCE，BE?面BCE，∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB=2，O為AB的中點，
∴OE=1．∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），

AE

=（1，1，0），

AC

=（0，2，2）
設平面AEC的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

AE • n =0 AC • n =0

，即

x+y=0 2y+2x=0.

，
解得

y=-x z=x

，
令x=1，得

n

=（1，-1，1）是平面AEC的一個法向量．
又平面BAC的一個法向量為

m

=（1，0，0），
∴cos（

m

，

n

）=

m ， n

| m |•| n |

=

1

3

=

3

3

．
∴二面角B-AC-E的大小為arccos

3

3

（III）∵AD∥z軸，AD=2，∴

AD

=（0，0，2），
∴點D到平面ACE的距離d=|

AD

|•|cos＜

AD

，

n

＞=

| AD • n |

| n |

=

2

3

=

2

3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．