Question

定義x₁，x₂，…，x_n的“倒平均數”為（n∈N*）．已知數列{a_n}前n項的“倒平均數”為，記c_n=（n∈N*）．
（1）比較c_n與c _n+1的大小；
（2）設函數f（x）=﹣x²+4x，對（1）中的數列{c_n}，是否存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x）≤c_n對任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的實數λ；若不存在，說明理由．
（3）設數列{b_n}滿足b₁=1，b₂=b（b∈R且b≠0），b_n=|b_n﹣1﹣b_n﹣2|（n∈N*且n≥3），且{b_n}是周期為3的周期數列，設T_n為{b_n}前n項的“倒平均數”，求T_n．

Answer 1

解：（1）設數列{a_n}的前n項和為S_n，由題意得，所以S_n=2n²+4n，
當n=1時，a₁=S₁=6，
當n≥2時，a_n=S_n﹣S_n﹣1=4n+2，而a₁也滿足此式．
所以a_n=4n+2（n∈N*）．
所以c_n==4﹣，
∴c _n+1﹣c_n==＞0，因此c_n＜c _n+1．
（2）假設存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x）≤c_n對任意n∈N*恒成立，即﹣x²+4x≤c_n對任意n∈N*恒成立，
由（1）知數列{c_n}是遞增數列，所以只要﹣x²+4x≤c₁，即x²﹣4x+3≤0，
解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的實數λ=1，使得當x≤λ時，f（x）≤c_n對任意n∈N*恒成立．
（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b﹣1|，
①若b≥1，則b₃=b﹣1，b₄=|b₃﹣b₂|=1，b₅=|2﹣b|，
因為{b_n}是周期為3的周期數列，故b₅=b₂=b，所以|2﹣b|=b，
所以2﹣b=b，2﹣b=﹣b（舍），故b=1．
此時，{b_n}為1，1，0，1，1，0，…．符合題意．
②若b＜1，則b₃=1﹣b，b₄=|b₃﹣b₂|=|1﹣2b|，
因為{b_n}是周期為3的周期數列，故b₄=b₁=1，
所以|1﹣2b|=1，即1﹣2b=1或1﹣2b=﹣1，
解得b=0或b=1，均不合題意．
設數列{b_n}的前n項和為S_n，則對n∈N*，有
S_n=即S_n=，
所以T_n=，
因此，Tn=．