Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D，D₁分別為棱BC，B₁C₁的中點．
（1）求證：直線A₁D₁∥平面ADC₁．
（2）求證：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（3）設底面邊長為2，側棱長為4，求二面角C₁-AD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線面平行的判定定理，只需證明平面外的直線平行于平面內的一條直線，證明A₁D₁∥AD即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需證明一個平面經過另一個平面的垂直，證明AD⊥平面BCC₁B₁即可；
（3）先判斷∠C₁DC為二面角C₁-AD-C的平面角，再在Rt△C₁CD中求解即可．
解答：（1）證明：連接DD₁，∵點D₁為棱B₁C₁的中點，
則，所以四邊形AA₁D₁D為平行四邊形
∴A₁D₁∥AD．  …（3分）
又AD?平面ADC₁，A₁D₁?平面ADC₁，
∴A₁D₁∥平面ADC₁…（5分）
（2）證明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁…（7分）
∵點D為棱BC的中點，
∴AD⊥BC，…（8分）
CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（9分）
又∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（10分）
（3）解：由（1）得AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC，AD⊥C₁D
∴∠C₁DC為二面角C₁-AD-C的平面角 …（12分）
又CD=1，CC₁=4，∴
在Rt△C₁CD中，
∴二面角C₁-AD-C的余弦值為．…（14分）
點評：本題以正三棱柱為載體，考查線面、面面位置關系，考查面面角，解題的關鍵是正確掌握線面平行、面面垂直的判定定理．