Question

（12分）拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點．
①為坐標原點，求證：；
②設點在線段上運動，原點關于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值．.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）時，四邊形的面積最小，最小值是．

試題分析：（1）先利用已知條件設出直線AB的方程，與拋物線聯立方程組，然后結合韋達定理表示出向量的數量積，進而證明。
（2）根據由點與原點關于點對稱，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，得到四邊形的面積等于，結合三角形面積公式得到。
（Ⅰ）解：依題意，設直線方程為．  …………1分
將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去得．……3分
設，，所以 ，．
=1，
故．………………6分
（Ⅱ）解：由點與原點關于點對稱，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于．……8分
因為   ……………9分
，…………11分                                 
所以 時，四邊形的面積最小，最小值是．  ……12分
點評：對于幾何中的四邊形的面積一般運用轉換與化歸的思想來求解得到。