Question

有一幅橢圓型彗星軌道圖,長4 cm,高2 cm,如下圖,已知O為橢圓中心,A₁,A₂是長軸兩端點(diǎn),太陽位于橢圓的左焦點(diǎn)F處.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出橢圓方程,并求出當(dāng)彗星運(yùn)行到太陽正上方時(shí)二者在圖上的距離;

(2)直線l垂直于A₁A₂的延長線于D點(diǎn),|OD|=4,設(shè)P是l上異于D點(diǎn)的任意一點(diǎn),直線A₁P、A₂P分別交橢圓于M、N(不同于A₁,A₂)兩點(diǎn),問點(diǎn)A₂能否在以MN為直徑的圓上？試說明理由.

Answer 1

解:(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)橢圓方程為+=1(a＞b＞0),依題意,2a=4,2b=2,∴a=2,b=.∴c=1.

橢圓方程為=1,

F(-1,0),將x=-1代入橢圓方程得y=±,∴當(dāng)彗星位于太陽正上方時(shí),二者在圖中的距離為1.5 cm.

(2)由(1)知,A₁(-2,0),A₂(2,0),設(shè)M(x₀,y₀),∵M(jìn)在橢圓上,∴y₀²=(4-x₀²),

又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A₁,A₂,∴-2＜x₀＜2.

由P、M、A₁三點(diǎn)共線可得P(4,),

∴=(x₀-2,y₀),=(2,).

∴·=2(x₀-2)+=(2-x₀).

∴2-x₀＞0.∴·＞0.∠MA₂P為銳角.

∵P、A₂、N三點(diǎn)共線,∴直線A₂M與NA₂不垂直.

∴點(diǎn)A₂不在以MN為直徑的圓上.