Question

【題目】如圖，在矩形中，,,是的中點，將沿向上折起，使平面平面

(Ⅰ)求證：;

(Ⅱ)求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ）見解析；

(Ⅱ) 90°.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題意可得，的值，可推出，根據平面⊥平面且是交線，即可證明⊥平面，從而證明；(Ⅱ) 設中點為,中點為,連接，可推出，則⊥平面，即可以為坐標原點，分別以所在直線為軸、軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的一個法向量，利用空間向量夾角的余弦公式即可得結果.

試題解析：（Ⅰ）證明：由題意可知，,.

∴在中 ,,所以；

∵平面⊥平面且是交線，平面

∴⊥平面

∵平面

∴.

(Ⅱ) 解：設中點為,中點為,連接.

∴

∴⊥平面

∴，.

∵

∴

以為坐標原點，分別以所在直線為軸、軸建立空間直角坐標系，如圖

則，從而, , .

設為平面的法向量，則，可以取.

設為平面的法向量，則可以取.

因此，，有，即平面⊥平面.

故二面角的大小為90°.