Question

已知拋物線C₁:y=x²+2x和C₂：y=-x²+a.如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線，公切線上兩個切點之間的線段稱為公切線段.

(1)a取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程.

(2)若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分.

Answer 1

（1）解：函數y=x²+2x的導數y′=2x+2,曲線C₁在點P(x₁,x²₁+2x₁)的切線方程是y-(x²₁+2x₁)=(2x₁+2)(x-x₁),即y=(2x₁+2)x-x²₁.　�、�

函數y=-x²+a的導數y′=-2x,曲線C₂在點Q（x₂,-x²₂+a）的切線方程是y-(-x²₂+a)=-2x₂(x-x₂),即y=-2x₂x+x²₂+a.　�、�

如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程消去x₂得方程2x²₁+2x₁+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).

由Δ=0，得a=-,解得x₁=-,此時P與Q重合，即當a=-時，C₁和C₂有且僅有一條公切線.

由①得公切線方程為y=x-.

(2)證明：由（1）可知，當a＜-時，C₁和C₂有兩條公切線，設一條公切線上切點為P（x₁,y₁）、Q(x₂,y₂),其中P在C₁上，Q在C₂上，則有x₁+x₂=-1,y₁+y₂=x²₁+2x₁+(-x²₂+a)=x²₁+2x₁-(x₁+1)²+a=-1+a，線段PQ的中點為（）.

同理，另一條公切線段P′Q′的中點也是（）,

所以公切線段PQ和P′Q′互相平分.