Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求m的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得C、B、N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定點(diǎn)，證明過(guò)程見(jiàn)解析

【解析】

（1）由橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值即和離心率，求出和，再求出，即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，并利用韋達(dá)定理求出和，設(shè)中點(diǎn)為,將轉(zhuǎn)化為，表示出，即可得到的范圍；

（3）求出點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)，由C、B、N三點(diǎn)共線得到，利用向量平行的坐標(biāo)形式表示出，再利用（2）中的韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）由題意，橢圓焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程，

則橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值即，

又，解得，，所以，

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）由題意，點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，

設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，

代入橢圓方程并整理得，，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，，

，

設(shè)中點(diǎn)，

由，可得，

所以，即，

，

整理得，，

所以的取值范圍為.

（3）由（2）知，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以，

設(shè)點(diǎn)，則，，

當(dāng)C、B、N三點(diǎn)共線時(shí)，即，

所以，

整理得，，

由（2）知，，，，

所以，

所以定點(diǎn).